On considère la suite définie par :
Etudier les variations de .
Analyse
Il convient en fait d’étudier les variations de la fonction f
définie par sur un ensemble approprié …
Résolution
On a en fait, pour tout entier naturel n : avec f définie sur
par :
La fonction f est dérivable sur et sur
en tant que fonction rationnelle et on a :
Le dénominateur est strictement positif comme carré d’un nombre non nul.
Etudions le signe du numérateur qui est une fonction polynôme du second degré.
Raisonnons, dans un premier temps, sur .
Le discriminant vaut : .
Les racines s’écrivent alors :
(à
près) et
(à
près).
On en tire le signe de sur
puis celui de
sur
:
- Pour
,;
- Pour
,.
Donc :
- ,et la fonction f est strictement croissante sur chacun de ces deux intervalles ;
- Pour
,et la fonction f est strictement décroissante sur cet intervalle.
Puisque l’on a : ,
on peut finalement conclure que la suite
est strictement croissante à partir de
.
Résultat final
la
suite est strictement croissante à partir de
.