On considère la suite définie par :
et :
Démontrer par récurrence que l’on a :
Analyse
Une récurrence standard, application directe du cours …
Résolution
On considère ici la propriété «
».
Notons, dans un premier temps que l’on a facilement : .
Pour ,
on a :
qui est bien inférieur à 3.
est donc vraie.
Supposons maintenant que soit vraie, c’est à dire que
soit inférieur à 3 :
.
Il vient alors : ,
puis
.
La fonction racine carrée étant strictement positive sur ,
il vient alors :
,
c’est à dire :
.
La propriété est donc vraie.
Résultat final
Pour
la suite définie par :
et
,
on a :