Pour tout entier naturel non nul n, on pose :
Démontrer par récurrence que l’on a :
Analyse
Une récurrence standard, application directe du cours …
Résolution
On considère ici la propriété «
».
Pour ,
on a :
et
.
est donc vraie.
Supposons maintenant que soit vraie, c’est à dire que
soit égale à
.
On a donc : .
On s’intéresse à : .
On a :
En appliquant l’hypothèse de récurrence, il vient alors :
La proposition est donc vraie.
Résultat final