On considère la suite définie par :
et
Démontrer par récurrence que la suite est bornée par 0 et 2.
(on commencera par montrer : ).
Analyse
Dans cet exercice, on cherche en fait à montrer : .
Dans un premier temps, une récurrence standard permet d’établir la première inégalité ainsi que suggéré dans l’énoncé. La deuxième ne nécessite pas tant de travail …
Résolution
Comme suggéré par l’énoncé, considérons la proposition :
«
».
Pour ,
on a :
qui est bien un nombre positif.
est donc vraie.
Supposons maintenant que soit vraie, c’est à dire que l’on ait :
.
On a alors : et
.
est ainsi le rapport de deux nombres
strictement positifs, c’est un nombre positif.
La proposition est donc vraie.
On a bien : .
Considérons alors la proposition «
».
Pour ,
on a :
qui est bien inférieur à 2.
est donc vraie.
Supposons maintenant que soit vraie.
On a alors :
Or, pour tout entier naturel n, on a .
La différence
est donc positive et on en déduit :
(on remarque que l’on n’a pas utilisé
l’hypothèse de récurrence à proprement parler).
La proposition est donc vraie et on a, finalement :
Des deux résultats précédents, on tire :
La suite est bien bornée par 0 et 2.
Résultat final
La
suite définie par :
et
,
est bornée par 0 et 2.