Il convient ici d’exploiter le fait que la fonction sinus est bornée, caractéristique qui peut être exploitée de diverses façons …

 

 

 

Pour tout entier naturel n non nul, on a :

 

 

 

Or, pour tout entier naturel n, on a :

 

 

 

D’où :

 

 

 

Remarque : on aurait pu donner ici un encadrement à l’aide d’inégalité stricte puisque pour tout entier naturel n, le produit  ne peut être égal à un multiple de  modulo  …

 

Et enfin :

 

 

 

On a immédiatement : .

Le théorème des gendarmes nous permet alors d’en déduire : .

Il vient alors (addition) :  et enfin (multiplication) :

 

 

 

 

A partir de la double inégalité : , on pouvait aussi écrire :

 

 

 

Comme , le théorème des gendarmes nous permettait de conclure immédiatement :