Soit f la fonction
définie sur par
.
Pour tout entier naturel n,
on note la dérivée nième de f
(remarque :
).
Démontrer par récurrence que l’on a, pour tout entier naturel n :
Rappel : pour tout x réel, on a : .
Analyse
On mène une récurrence classique, le rappel facilitant grandement la deuxième partie du raisonnement (hérédité) … On prendra garde d’établir soigneusement les égalités et de ne pas les poser d’emblée.
Résolution
Initialisation
Pour et pour tout x réel, on a :
La propriété est ainsi vérifiée au rang 0.
Hérédité
Soit n un entier naturel quelconque fixé.
Nous supposons la propriété vraie à ce rang, c'est-à-dire :
Dans ces conditions, on a, pour tout x réel :
La propriété est ainsi vérifiée au rang .
Elle est donc héréditaire.
Finalement, pour tout entier naturel n :
Résultat final
Pour tout entier naturel n :
où