On a affaire à des expressions non nulles pour toute valeur de l’entier n. On obtient alors l’équivalence en utilisant la définition de deux suites équivalentes.

 

 

 

 

Pour tout entier naturel n, posons :  et . Les deux suites ainsi définies sont des suites à termes strictement positifs (et donc non nuls). On a donc :

 

 

 

On a : .

 

Il vient donc : .

 

Pour tout entier naturel k dans , on a :  (croissance des fonctions carrée et exponentielle sur  ). Il vient donc :

 

 

 

Par croissance comparée, il vient :

 

 

 

Soit : . D’où :  et, finalement :

 

 

 

Le résultat est ainsi établi.