On considère la suite définie par :
Etudier les suites et
.
En déduire la nature de la suite
.
Analyse
Un exercice classique permettant d’établir simplement que la série harmonique alternée converge.
Résolution
On a d’abord, pour tout entier naturel n :
On en tire immédiatement que la suite est strictement décroissante.
Par ailleurs :
On en tire immédiatement que la suite est strictement croissante.
Enfin :
On a alors : .
Comme les suites et
sont (strictement) monotones, de monotonies
inverses, et comme
,
on en déduit que ces deux suites sont adjacentes. De fait, elles sont convergentes
et admettent la même limite qui est également la limite de la suite
.
Résultat final
La
suite définie par :
,
est convergente.