Un exercice classique que l’on peut traiter de diverses façons. Nous menons ici un raisonnement par l’absurde après avoir établi au préalable que la convergence de l’une des deux suites entraîne celle de l’autre.

 

 

 

 

Pour tout n entier naturel, on a les relations :

 

 

 

Puisque , on a :  et les égalités se récrivent :

 

 

 

Ainsi, si l’on suppose que la suite  converge, la première égalité nous permet de conclure immédiatement que la suite  converge également. De façon analogue, si l’on suppose que la suite  converge, c’est cette fois la deuxième égalité qui nous permet de conclure que la suite  converge également.

 

Nous supposons donc que l’une des suites  et  converge. D’après ce qui précède, elles convergent toutes les deux.

 

Notons alors :  et .

 

On a :  et .

 

En passant aux limites, les égalités  et  donnent alors le système :

 

 

 

Soit :

 

 

 

Le déterminant associé à ce système vaut :

 

 

 

Il est non nul puisque .

 

Il vient alors immédiatement : .

 

Mais pour tout entier naturel n, on a la relation fondamentale : . La fonction carrée étant continue sur , on obtient, en passant à la limite : , relation incompatible avec les valeurs de  et  que nous venons d’obtenir.

 

Les suites  et  ne sont pas convergentes.