La fonction partie entière confère aux entiers un rôle particulier puisqu’en ces points elle est discontinue. Cette remarque initiale permet de mener la discussion.

 

 

 

 

Notons : .

 

Nous allons distinguer deux situations suivant que L est ou non un entier.

 

1^er cas : L n’est pas entier (  ).

 

On a donc : .

 

Soit alors .

 

On a : .

 

Pour tout  strictement positif tel que , on pourra trouver un entier N tel que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à N, on a : . On a alors :  et on en déduit dans ce cas :

 

 

 

On pouvait également utiliser le théorème suivant du cours :

 

Si la suite  converge vers L et si une fonction f, définie sur un voisinage de L, est continue en L alors  converge vers .

 

En tout point de , la fonction partie entière est continue et on peut donc appliquer le théorème.

 

2^ème cas : L est entier (  ).

 

Puisque la suite  converge vers L, on sait qu’il existe un rang N (prendre  ) au-delà duquel tous les termes seront dans l’intervalle . La partie entière d’un tel terme vaudra donc  ou L. Ainsi, contrairement au cas précédent, la suite peut ne pas converger, converger vers  ou vers L.

 

A titre d’illustration, on peut considérer les trois suites : ,  et  définies par :

 

,  et  

 

On a facilement : .

 

Pour autant, les termes de la suite  valent alternativement 2 et 3 (en fait, les suites extraites  et  sont constantes et prennent comme valeurs respectives 3 et 2 qui sont les deux valeurs d’adhérence de la suite  ).

La suite  est donc divergente.

 

A contrario, pour tout n entier naturel non nul, on a :  et donc : .

La suite  converge et admet pour limite : .

 

Enfin, pour tout n entier naturel dans , on a  et donc .

La suite  converge et admet pour limite : .