On a ici affaire à une suite récurrente où  est de la forme  avec . La question 1. est classique et conduit à établir la convergence de la suite grâce à un théorème majeur du cours. La seconde question est plus délicate et consiste en comparaisons de suites et de suites géométriques …

 

 

 

 

Question 1. a)

 

Nous allons établir un encadrement par récurrence.

Posons :  : «  ».

 

Initialisation

Comme  , la propriété  est vraie.

 

Hérédité

On considère un entier naturel n quelconque fixé et on suppose que  est vraie.

On a donc : .

On en déduit immédiatement : , soit : .

D’où : . On a bien : .

La propriété  est donc vraie.

 

Finalement : .

 

Donc :

 

 

 

Remarque : on a établi : . En fait, notre calcul nous permet de conclure que l’on a :  et .

 

 

Question 1. b)

 

Nous nous intéressons à la différence : .

 

Pour tout entier naturel n non nul, on a, la somme  ne pouvant être nulle (cf. la remarque ci-dessus,  est le seul terme nul de la suite et tous les autres sont strictement positifs), on a  :

 

 

 

D’après la question précédente, le dénominateur  est strictement positif. Le signe de la différence  est donc celui de .

 

On a facilement : , d’où : .

 

D’après la question précédente, on a : . Comme , on a finalement  et donc .

 

 

 

Question 1. c)

 

La suite  est strictement croissante et majorée, elle est donc convergente. Notons L sa limite.

 

On a :  avec .

 

Or : .

Par ailleurs, comme la suite  est minorée par 0, on a : . La fonction f étant continue sur , on a : .

 

Ainsi, la limite L vérifie : .

 

Pour déterminer L on va donc résoudre le système :

 

 

 

On a :

 

 

 

 

 

 

Question 2. a)

 

Pour tout entier naturel n, on a :

 

 

 

A la question 1.a), on a vu que l’on avait , pour tout entier naturel n.

On en déduit :  et enfin : .

Il vient alors : .

Le résultat est ainsi établi.

 

 

 

Question 2. b)

 

D’après la question précédente, on a : .

 

Pour tout n strictement positif, on a alors, classiquement :

 

 

 

Il convient, en toute rigueur, d’établir le résultat par récurrence.

 

Posons :  : «  ».

 

Initialisation

Comme , on a : .

Par ailleurs : .

D’où : . La propriété  est vraie.

 

Hérédité

On considère un entier naturel n quelconque fixé et on suppose que  est vraie.

On a donc : .

D’après la question précédente, on a : .

On déduit de ces deux inégalités : .

La propriété est donc héréditaire.

 

En définitive, la propriété est vraie pour tout entier naturel n :

 

 

 

D’après la question 1.a), il vient alors :

 

 

 

Comme la suite  est géométrique de raison , on a : .

Le théorème des gendarmes nous permet alors de conclure :

 

 

 

D’où : . On a ainsi retrouvé le résultat de la question 1.c).

 

 

 

Question 2. c)

 

Remarquons d’abord que nous ne pouvons conclure directement puisque l’on a :  et, d’après la question précédente : . Nous avons donc affaire à une forme indéterminée du type «  ».

 

Nous allons raisonner avec n entier naturel non nul (ainsi,  ) et allons nous inspirer de la question précédente.

 

On a : .

On a immédiatement :  et, la fonction carrée étant continue en 1 : .

 

Il existe donc un rang N tel que : .

Pour tout entier naturel n strictement supérieur à N on a alors, en tenant compte du résultat obtenu à la question 2.a) :

 

 

 

Soit,  étant strictement positif : .

 

Remarque : nous avons choisi ci-dessus la valeur  car son produit par  donne un résultat strictement inférieur à 1. Tout autre valeur strictement positive donnant un produit strictement inférieur à 1 aurait également convenu.

 

En raisonnant comme à la question précédente (nous ne redonnons pas tous les détails), on obtient :

 

 

 

(La démonstration rigoureuse par récurrence conduit à initier le raisonnement au rang N)

 

On a finalement, en tenant compte du signe de  :

 

 

 

Comme la suite  est géométrique de raison , on a : .

 

Le théorème des gendarmes nous permet alors de conclure :