Un raisonnement par récurrence va nous permettre de « démontrer » que pour tout entier n supérieur ou égal à 2, n points quelconques (deux à deux distincts) du plan sont alignés !

 

Un tel raisonnement est clairement faux puisque le résultat général l’est ! Voici, cependant, le raisonnement :

 

On considère les propriétés :

 

du plan sont alignés »

 

Initialisation

Deux points distincts quelconques du plan sont trivialement alignés.

La propriété  est donc vraie.

 

Hérédité

Soit n un entier naturel quelconque supérieur ou égal à 2.

Nous supposons la propriété  vraie.

Soit alors  points quelconques du plan,  deux à deux distincts.

 

D’après l’hypothèse de récurrence, les n points  sont alignés. Ils le sont donc sur la droite .

De façon similaire, les n points  sont alignés. Il le sont donc également sur la droite .

On en déduit ainsi que les points  appartiennent à la même droite : ils sont alignés ! La propriété  est vraie …

 

Saurez-vous trouver la faille dans ce « joli » raisonnement ?

 

Une fois n’est pas coutume, il s’agit donc ici de … raisonner sur un raisonnement ! Il n’est pas nécessaire d’être un(e) spécialiste du raisonnement par récurrence ou de la géométrie pour s’en sortir ! En revanche, il convient de faire attention aux détails qui sont parfois moins … anodins qu’on pourrait le croire …

L’initialisation du raisonnement est correcte ! N’en doutons pas. La difficulté doit donc se situer au niveau de l’hérédité.

En l’occurrence, les notations sont assez piégeuses : dans les raisonnements par récurrence on a parfois tendance à abuser des pointillés et le lecteur (la lectrice) à se faire abuser par eux ! On ne saurait trop se demander comment s’écrit une expression comportant des pointillés lorsque n est petit.

Reprenons : l’élément-clé permettant de conclure au niveau de l’hérédité est cette « fameuse » droite . Bien évidemment, lorsque l’on désigne par «  » n points, on ne se pose pas trop de questions sur le nombre de points effectivement mentionnés et il semble « évident » que l’on puisse « parler » tranquillement de la droite  … Mais est-ce VRAIMENT toujours le cas ?

Bien sûr que non !

Si , tout tombe à l’eau ! Votre droite «  » … n’en est pas une ! Dans ce cas, le fait que  et  sont alignés, d’une part, et que  et  le sont également, d’autre part, ne permet en rien de conclure que ,  et  sont alignés !

L’hérédité serait donc appropriée pour n plus grand que 3 ! Cette partie-là du raisonnement serait alors valable (eh oui !) Mais le raisonnement sa dans globalité nécessiterait alors, pour être valable, que la propriété  soit vraie ; là, vous conviendrez qu’une difficulté apparaît car le problème de l’alignement se pose véritablement (et définitivement !) dès lors que l’on considère 3 points !