Cette inégalité est très intéressante à bien des égards en analyse dans l’enseignement supérieur, moins en Terminale. On se propose de la démontrer ici par récurrence mais on peut également y parvenir autrement. Le raisonnement ne pose pas de grosse difficulté (dès lors que l’on garde présent à l’esprit qu’il faut très souvent, dans les raisonnements par récurrence, essayer de se ramener à l’hypothèse de récurrence) mais le formalisme littéral n’est pas pour plaire à la majorité des élèves …

 

 

 

 

Considérons, pour tout entier naturel n non nul la propriété  suivante :

 : « Pour tous réels  on a :  »

 

Initialisation :

 

Pour tout x réel, on a immédiatement : .

La propriété  est donc vraie.

 

Hérédité :

 

Soit n un entier naturel non nul quelconque fixé.

On suppose que la propriété  est vraie, c'est-à-dire que l’on a : pour tous réels , . On s’intéresse à la propriété .

 

On se donne donc  réels : .

On a :

 

 

Par ailleurs :

 

 

D’où :

 

 

D’après l’hypothèse de récurrence, on a : .

Par ailleurs, la somme des carrées  est positive.

On en déduit que la différence  est positive.

La propriété  est donc vraie.

 

Conclusion générale : la propriété  est vraie pour tout entier naturel n non nul.