Cette inégalité est intéressante puisqu’elle permet, par exemple, d’établir que la suite  définie par :  est convergente (croissante et majorée par 2, puisque l’on a, pour tout entier naturel n non nul :  ). D’ailleurs, on a « classiquement » :

.

 

 

 

 

Considérons, pour tout entier naturel n non nul la propriété  suivante :

 : «  »

 

Initialisation :

 

Pour : , on a :  et .

L’inégalité (on a l’égalité en fait) est vérifiée. La propriété  est donc vraie.

 

Hérédité :

 

Soit n un entier naturel non nul quelconque fixé.

On suppose que la propriété  est vraie, c'est-à-dire que l’on a :

.

 

On s’intéresse à la propriété .

 

On considère donc la somme : .

 

En utilisant l’hypothèse de récurrence, on, a :

 

 

La propriété  est donc vraie.

 

Conclusion générale : la propriété  est vraie pour tout entier naturel n non nul.