On considère la suite définie par :
1. Donner les
valeurs exactes et des valeurs approchées de ,
et
et
.
2. Montrer que la
suite est minorée par 0.
3. Montrer que la
suite est majorée par 6.
4. Montrer que la
suite est strictement croissante.
5. Montrer que la
suite converge et déterminer sa limite.
6. Montrer que, pour tout n entier naturel, on a :
7. Déduire de la question précédente que, pour tout entier naturel n, on a :
8. Déterminer un entier
naturel N telle que pour tout n supérieur ou égal à N, on
ait : .
Analyse
Une récurrence classique du type
où les premières questions (jusqu’à la 5,
comprise) visent à permettre l’utilisation d’un théorème de convergence du
cours et à déterminer la limite de la suite considérée. Dans un deuxième temps
(questions 6, 7 et 8), on obtient une majoration de la différence (en valeur
absolue) entre un terme quelconque et la limite. La dernière question, application
numérique, permet de se faire une meilleure idée de la rapidité de la
convergence.
Résolution
Partie A
Question 1.
On a facilement :
Question 2.
Nous menons un raisonnement par récurrence pour
établir : .
Initialisation.
On a : .
La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité.
Soit n un entier naturel quelconque fixé.
Supposons que la propriété soit vraie au rang n. On
suppose donc : .
On a alors : et on en déduit immédiatement :
.
La propriété est donc héréditaire.
Conclusion.
La propriété est vraie pour tout n entier naturel.
La
suite est minorée par 0.
Question 3.
Nous menons un raisonnement par récurrence pour
établir : .
Initialisation.
On a : .
D’où :
.
La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité.
Soit n un entier naturel quelconque fixé.
Supposons que la propriété soit vraie au rang n. On
suppose donc : .
On a alors : et on en déduit immédiatement :
.
La propriété est donc héréditaire.
Conclusion.
La propriété est vraie pour tout n entier naturel.
La
suite est majorée par 6.
Question 4.
Pour tout entier naturel n, on a :
Comme ,
on a donc :
.
D’où :
On a d’abord (question 2) : .
D’où :
.
Par ailleurs (question 3) : .
D’où :
.
En définitive, on a : ,
soit :
.
Comme ,
il vient finalement :
.
Le résultat est ainsi établi.
La
suite est croissante.
Question 5.
La suite étant croissante (question 4) et majorée
(question 3), elle est convergente.
Notons L sa limite.
Comme est minorée par 0 et majorée par 6, on a
finalement :
On en déduit immédiatement : .
On a aussi : ,
d’où :
.
On a : .
La fonction carrée étant continue sur
,
il vient alors :
Par ailleurs : .
On a donc finalement :
On a vu plus haut (question 4) que l’équation admettait
et 6 comme racines. Comme on a
,
6 est la seule valeur acceptable. Finalement :
Remarque : historiquement, on se plaisait à écrire :
Question 6.
Pour tout n entier naturel, on a :
Par ailleurs, comme et comme
est croissante, on a :
.
On en tire alors : puis
et enfin :
.
On a donc :
Le résultat est ainsi établi.
Question 7.
Nous allons établir ce résultat par récurrence.
Initialisation.
On a bien sûr : .
La propriété est donc vraie au rang 0.
Hérédité.
Soit maintenant n un entier naturel quelconque fixé.
On suppose que la propriété est vraie au rang n, c'est-à-dire : .
En utilisant le résultat de la question précédente, on a alors :
La propriété est donc vraie au rang .
Elle est héréditaire.
Conclusion.
La propriété est vraie pour tout entier naturel n.
Question 8.
On veut .
En utilisant le résultat de la question précédente, cette inégalité sera
vérifiée si on a :
.
On a :
Or, on a : .
On choisit donc
.
Pour
,
on a :
.