Soit A la matrice de définie par :
Calculer pour tout entier naturel k.
Analyse
On va classiquement faire apparaître la matrice identité …
Résolution
On a :
Où B est la matrice dont tous les éléments sont égaux à 1 et I la matrice identité d’ordre n.
On a facilement : .
On montre alors par récurrence que pour tout entier naturel i non nul,
on a :
.
Par ailleurs, on a immédiatement : .
La formule du binôme nous permet alors d’écrire, pour tout entier naturel k non nul :
On peut donc finalement écrire :
Avec :
Résultat final
Pour
,
on a :
et, pour tout entier naturel k non nul :
avec :