On peut … poser le calcul de  et conjecturer le résultat … mais on peut également (c’est l’approche que nous développons ci-après) observer attentivement la structure de A et facilement conclure que son rang est égal à 1, résultat facilitant grandement le calcul des puissances de A !

 

 

 

On peut interpréter la matrice A comme la matrice d’un endomorphisme f dans la base canonique de  que nous notons . Dans ces conditions, on a :

 

 

 

Avec .

 

Bien sûr, si  (c'est-à-dire  ), on a immédiatement .

Nous supposons donc, à partir de maintenant, que l’on a :  (c'est-à-dire  ).

 

Puisque les images par f des vecteurs de la base  sont colinéaires au vecteur  (  ), on va déterminer .

 

On a :

 

 

 

D’où :

 

 

 

Et :

 

 

 

Ces résultats nous permettent d’écrire immédiatement :

 

 

 

Une récurrence immédiate nous donne alors :

 

 

 

On note que ce résultat demeure lorsque A est la matrice nulle.