Déterminer le rang de la matrice :
Analyse
Observer attentivement les colonnes de A avant de se lancer dans les calculs !
Résolution
La matrice A comportant 3 lignes, on a déjà : .
En observant les colonnes de A, on constate que :
·
La troisième colonne est obtenue
en multipliant la seconde par ;
· La quatrième colonne est l’opposée de la seconde.
Ainsi, on a : ,
où
est la matrice carrée d’ordre 3 obtenue en
supprimant dans A les colonnes 3 et 4 :
En retranchant alors la troisième colonne de à la première et à la seconde, on obtient la
matrice
de même rang que
:
On obtient ainsi une matrice triangulaire dont les termes diagonaux sont tous non nuls. Elle est donc inversible et son rang est, de fait, égal à sa dimension, c'est-à-dire 3.
Finalement :
Résultat final