On commence par déterminer la matrice de l’application Φ dans une base simple et on discute à partir de cette matrice.

 

 

 

 

Considérons la base canonique de  :  avec :

 

 

 

Posons : .

On obtient alors :

 

 

 

En procédant de façon similaire, on obtient :

 

 

 

Ainsi, la matrice A de l’endomorphisme Φ dans la base  s’écrit :

 

 

 

Remarquant immédiatement que les colonnes 1 et 4 de A sont opposées, il vient :

 

 

 

On remarque que les lignes 1 et 4 sont opposées. Il vient donc :

 

 

 

La présence de la sous-matrice  suggère d’étudier le cas .

 

Si .

 

On a alors : .

 

On doit ici distinguer deux sous-cas :

 

·        Si  :  ;

·        Si  ou , on a facilement : .

 

 

Si .

 

La transformation :  donne :

 

 

 

Ensuite, la transformation  donne :

 

 

 

Ici encore, on peut distinguer deux sous-cas :

 

·        Si  :  ;

·        Si  : le deux premières colonnes de la matrice  sont alors proportionnelles et il vient : .

 

D’après l’étude précédente, on a, en définitive :

 

·        Si  alors  (remarquons que l’on a simplement, dans ce cas :  ; l’application  est l’application nulle) ;

·        Si  alors .