La structure de ce déterminant, très classique, suggère de mener une récurrence, le calcul de  et  pouvant mener, si on ne la connaît pas, à proposer la formule générale. Mais la structure très particulière de ce déterminant peut également nous conduire à observer d’emblée les cas d’annulation et à en tirer profit. La correction propose les deux approches.

 

 

 

1^ère approche

 

Pour , on a :

 

 

 

Pour , on a :

 

 

 

Diverses possibilités s’offrent à nous.

 

On peut, par exemple, développer suivant la première colonne :

 

 

 

Ce calcul ne semble pas propice à une généralisation dans le cadre d’un raisonnement par récurrence. Mieux vaut, avant de développer, effectuer quelques transformation sur les colonnes afin de faire plus simplement apparaître les facteurs du résultat.

 

Nous commençons par retrancher à la troisième (et dernière) colonne  fois la seconde :

 

 

 

Nous retranchons ensuite à la deuxième colonne  fois la première :

 

 

 

On factorise alors :

 

 

 

On développe alors suivant la première ligne :

 

 

 

La fin du calcul en révèle tout l’intérêt : un mécanisme de récurrence est apparu (ayant travaillé avec , c’est  qui apparaît à la fin. Si nous avions travaillé avec , par exemple, c’est naturellement,  qui serait apparu …) !

 

 

Les calculs précédents conduisent à poser :

 

 

 

Nous venons d’établir cette égalité pour  et . Supposons qu’elle soit vraie au rang n et montrons qu’elle l’est au rang .

 

On considère donc maintenant :

 

 

 

 

Nous procédons comme précédemment en partant de la dernière colonne (la colonne  ) à laquelle nous retranchons  fois l’avant-dernière (la colonne n). Puis nous retranchons à l’avant-dernière  fois l’antépénultième (la colonne  ) et ainsi de suite en finissant par retrancher à la seconde colonne  fois la première. On obtient alors :

 

 

 

On développe immédiatement suivant la première ligne :

 

 

 

La factorisation est alors immédiate :

 

 

 

On peut alors appliquer l’hypothèse de récurrence à  puisqu’il s’agit d’un déterminant de Vandermonde d’ordre n : .

 

Finalement :

 

 

 

L’égalité est ainsi établie au rang .

 

On a bien :

 

 

 

 

2^ème approche

 

On constate d’emblée que le déterminant est nul dès lors que  pour deux indices différents (deux lignes sont alors identiques).

 

Posons alors :

 

 

 

La fonction f est une fonction polynôme de degré  s’annulant pour , , … et . On dispose donc des  racines et il vient immédiatement :

 

 

 

Où  est un coefficient à déterminer. Si on développe  suivant la première ligne, on constate que le coefficient de  est :

 

 

 

Il s’agit simplement du coefficient  cherché.

 

On a donc, finalement : .

 

Mais : .

 

Finalement :

 

 

 

En choisissant , on retrouve la relation :