Montrer que le produit des distances des foyers d’une ellipse à la tangente en un point quelconque de cette ellipse est constant.

On donnera la valeur de ce produit.

 

 

 

 

Analyse

 

Le calcul du produit peut être mené simplement en se plaçant dans un repère approprié.

Une belle propriété (encore une !) de l’ellipse.

 

 

Résolution

 

Dans un repère orthonormé défini à l’aide des axes de l’ellipse, l’équation de celle-ci est de la forme :

 

 

 

En ayant choisi le grand axe de l’ellipse comme axe des abscisses, les foyers F et  admettent pour coordonnées  et .

Dans ces conditions, a désigne la longueur du demi grand axe et b celle du demi petit axe.

 

On a classiquement :  

 

 

En un point  de l’ellipse, la tangente  admet pour équation :

 

 

 

Les distance  et  des foyers à la tangente s’écrivent alors :

 

 et  

 


Il vient alors :

 

 

 

On constate que le produit des deux distances ne dépend pas du point de l’ellipse considéré et vaut .

 

 

Résultat final

 

Le produit des distances des foyers d’une ellipse à une tangent en un point quelconque de cette ellipse est constant, égal à la longueur du demi petit axe élevée au carré :