Montrer que le produit des distances des foyers d’une ellipse à la tangente en un point quelconque de cette ellipse est constant.
On donnera la valeur de ce produit.
Analyse
Le calcul du produit peut être mené simplement en se plaçant dans un repère approprié.
Une belle propriété (encore une !) de l’ellipse.
Résolution
Dans un repère orthonormé défini à l’aide des axes de l’ellipse, l’équation de celle-ci est de la forme :
En ayant choisi le grand axe de l’ellipse comme axe des
abscisses, les foyers F et admettent pour coordonnées
et
.
Dans ces conditions, a désigne la longueur du demi grand axe et b celle du demi petit axe.
On a classiquement :
En un point de l’ellipse, la tangente
admet pour équation :
Les distance et
des foyers à la tangente s’écrivent alors :
et
Il vient alors :
On constate que le produit des deux distances ne dépend pas
du point de l’ellipse considéré et vaut .
Résultat final
Le produit des distances des foyers d’une ellipse à une tangent en un point quelconque de cette ellipse est constant, égal à la longueur du demi petit axe élevée au carré :