Soit une parabole.
Soit et
deux droites strictement parallèles, non
parallèles à l’axe de symétrie de
.
On suppose que coupe
en deux points A et B
(éventuellement confondus) et que
coupe
en deux points
et
.
On note I et les milieux respectifs des segments
et
.
Montrer que la droite est parallèle à l’axe de symétrie de
.
Analyse
Dans un repère approprié, il convient de montrer que les
point I et ont la même abscisse.
Une propriété classique de la parabole.
Résolution
La figure ci-dessus illustre les données de l’énoncé et le résultat demandé.
Dans un repère orthonormé d’origine le somme de la parabole
et d’axe des ordonnées l’axe de symétrie de (les ordonnées des points de
étant positives), l’équation de la parabole
est de la forme :
(avec
).
L’équation réduite de la droite (non parallèle à l’axe des ordonnées) est alors
de la forme :
.
La droite étant strictement parallèle à
,
son équation réduite est de la forme :
avec
.
Dire que et
admettent deux points d’intersection équivaut
à écrire que l’équation
admet deux racines (éventuellement confondues).
Les racines de cette équation sont les abscisses des points A et B.
L’abscisse du point I est la demi somme de celles de A et B.
Elle vaut donc la moitié de la somme des racines de l’équation
,
soit
.
En raisonnant de la même façon avec la droite ,
on trouve que l’abscisse du point
vaut également
.
L’équation de la droite s’écrit donc :
.
La droite est bien parallèle à l’axe de symétrie de la
parabole
.