Soit un repère orthonormé.
Soit et
deux cercles concentriques de centre O.
de rayons respectifs r et
avec
.
Soit J un point de .
Soit la demi droite symétrique de
par rapport à
.
Elle coupe
en
.
Soit I le milieu du segment .
Déterminer le lieu du point I lorsque J
parcourt le cercle .
Analyse
Dans un repère approprié et à l’aide de paramétrages des cercles, le calcul des coordonnées du point I fournit rapidement le résultat.
Résolution
La figure ci-dessous illustre les données de l’énoncé et le
résultat (ellipse rouge) obtenu avec et
.
Dans un repère orthonormé d’origine le centre commun aux
deux cercles et
,
on peut paramétrer le cercle
comme suit :
Faire parcourir le cercle au point J revient alors à faire varier
le paramètre t dans l’intervalle
(par exemple). La demi-droite
étant la symétrique de
par rapport à
,
le point
est donc le point de
de paramètre
.
Les coordonnées de
s’écrivent alors :
Les coordonnées de I, milieu du segment s’écrivent alors :
On obtient ainsi le paramétrage d’une ellipse dont la
longueur du demi grand axe vaut et celle du demi petit axe
.
