On considère le plan rapporté à un repère orthonormal direct.
Soit l’ellipse de centre O et d’équation :
(
et
).
Soit M un point quelconque de cette ellipse et P
un autre point de l’ellipse, tel que les droites et
soient perpendiculaires.
1. Montrer que la somme est constante (on l’exprimera en fonction de a
et b).
2. En déduire que la droite est tangente à un cercle dont on précisera le
centre et le rayon.
Analyse
Une jolie (et classique !) propriété géométrique de l’ellipse !
La deuxième question fait appel à un résultat dans le triangle rectangle qui est peut-être un peu lointain …
Résolution
Dans un premier temps, nous pouvons fournir une figure pour fixer un peu les idées.
Deux possibilités existent pour ce qui est du point P.
Nous avons choisi ici de considérer le point P tel que l’on ait : .
1. On peut poser :
Il vient alors :
C'est-à-dire :
Les coordonnées de ces points
vérifiant l’équation : ,
on a :
et
Soit encore :
et
En additionnant alors membre à membre les deux égalités obtenues, il vient :
La
somme est constante et égale à
.
2. Le triangle OMP est rectangle en O. Considérons alors H, pied de la hauteur issue de O (cf. la figure ci-dessous).
On a le résultat classique :
,
soit, ici :
On en déduit que la distance OH est constante :
Finalement :
La
droite est tangente au cercle de centre O et
de rayon
.
