étant un réel quelconque fixé, étudier la
convergence de la suite de fonctions
définie par :
Analyse
L’étude de la convergence simple ne pose pas de difficulté
particulière. Pour ce qui est de la convergence uniforme, on doit calculer et étudier sa limite en
.
La discussion suivant les valeurs de
en découle immédiatement.
Résolution
Notons, dans un premier temps, que l’on a : .
Etude de la convergence simple
- Pour
, on a :. On a donc :;
- Pour
, on a :. On a donc :;
- Pour
, on a :.
Comme et
,
on a :
.
Comme ,
on a
et
.
Il vient finalement : et
.
De ce qui précède, on tire :
La
suite converge simplement vers la fonction nulle.
Etude de la convergence uniforme
Pour n donné supérieur ou égal à 1, on s’intéresse
ici à .
Puisque les prennent des valeurs positives, on a :
.
Les sont dérivables sur
en tant que fonctions polynômes et on a
facilement :
On a alors :
- Pour
,etest strictement croissante ;
- Pour
,etest strictement décroissante.
La fonction admet un maximum pour
et on a :
Comme et
,
on a :
On a alors immédiatement :
·
Pour ,
on a :
et la suite
converge uniformément vers la fonction nulle ;
·
Pour ,
on a :
(
pour
et
sinon) et la suite
ne converge pas uniformément vers la fonction
nulle.
Résultat final
La suite de fonctions définie par :
·
Converge simplement vers la
fonction nulle si ;
·
Converge uniformément vers
la fonction nulle si .