On a tout intérêt, en guise de préambule, à mettre en évidence quelques caractéristiques particulières des fonctions .

L’étude de la convergence simple ne pose pas de difficulté particulière. Pour ce qui est de la convergence uniforme, on doit calculer  et étudier sa limite en .

 

 

 

Préambule

 

Notons, dans un premier temps, que pour tout entier naturel n, la fonction  est définie sur .

En effet, les exposants des fonctions  et  sont impairs. Elle sont donc strictement croissantes sur . Par ailleurs, on a : . On en déduit :

 

Le dénominateur de la fonction  est donc strictement positif pour toute valeur du réel x (remarque : il en va de même pour le numérateur).

 

On a par ailleurs, pour tout x réel :

 

 

 

Pour tout entier naturel n, la fonction  est impaire.

On va donc pouvoir restreindre l’étude des fonctions  à .

 

On peut cependant poursuivre. Pour tout x réel strictement positif, on a :

 

 

 

Nous allons ainsi pouvoir étudier la convergence simple de la suite  sur l’intervalle .

 

 

Etude de la convergence simple

 

Les fonctions  étant impaires, on a : .

D’où : .

 

Par ailleurs : .

D’où : .

 

Soit maintenant x un réel strictement compris entre 0 et 1.

Pour tout entier naturel n, on a :

 

 

 

Comme on a , il vient  et  et, finalement :

 

 

Pour , on a  et en tenant compte de , on a :

 

 

De façon analogue, on obtient :

 

 

Finalement :

 

 

 

Etude de la convergence uniforme

 

Les fonctions  sont continues sur  en tant que fonctions rationnelles.

Si la suite  convergeait uniformément vers f sur , cette fonction serait continue.

On en déduit que la suite  ne peut converger uniformément sur un intervalle de  contenant 0.

 

Considérons alors un compact de  ne contenant pas 0, c’est à dire un intervalle fermé  avec, pour fixer les idées, .

 

On a s’intéresse à  : .

 

On a :

 

 

On peut facilement montrer que pour tout entier naturel n, la fonction  est strictement croissante sur  (vérifier que  ).

On a par ailleurs : .

 

On peut alors écrire : .

D’où : .

Soit .

 

L’un des deux réels a et b est différent de 1.

Or, pour tout x strictement positif différent de 1, on a, en factorisant :

 

 

D’où :  où  ou b.

 

Mais : . Donc : .

Finalement :

 

 

On en déduit que la suite  converge uniformément sur .

 

On raisonne de la même façon pour  et la conclusion demeure.