On a tout intérêt, en guise de préambule, à mettre en évidence quelques caractéristiques particulières des fonctions . Peut-être identifierez-vous une fonction de référence ?

Quoiqu’il en soit, l’étude de la convergence simple ne pose pas de difficulté particulière. Pour ce qui est de la convergence uniforme, on doit calculer  et étudier sa limite en .

 

 

 

Préambule

 

Notons, dans un premier temps, que pour tout entier naturel n, la fonction  est définie sur  (le dénominateur est somme de deux termes non nuls).

 

On a par ailleurs, pour tout x réel :

 

 

 

Pour tout entier naturel n, la fonction  est impaire.

On va donc pouvoir restreindre l’étude des fonctions  à .

 

 

Etude de la convergence simple

 

Les fonctions  étant impaires, on a : .

D’où : .

 

Par ailleurs : .

Il vient alors :

 

• Si
  
  , on a :
  
   et, de fait :
  
   ;
• Si
  
  , on a :
  
   et, de fait :
  
  .

 

 

 

On pouvait également avoir remarqué :

 

 

 

Les résultats obtenus précédemment s’obtiennent alors découlent directement, modulo une discussion sur le signe de , des propriétés classiques de la tangente hyperbolique.

 

Sur la figure ci-dessous, on a représenté, avec  et , les fonctions f₁, f₂, f₃, f₄ et f₁₀ pour x compris entre  et 1,7 environ.

 

 

 

 

 

Etude de la convergence uniforme

 

Les fonctions  sont continues sur . Si la suite  convergeait uniformément sur  vers la fonction f, alors celle-ci serait également continue, ce qui n’est pas le cas (discontinuité en 0). On en déduit que la suite  ne peut converger uniformément sur tout intervalle contenant 0.

 

Considérons alors un réel strictement positif  et l’intervalle .

 

On a, pour  : .

Alors :

 

 

 

Donc : .

Comme , il vient alors : .

Comme , on en tire alors :

 

 

 

On en déduit que la suite  converge uniformément sur .

 

On raisonne de la même façon pour  et la conclusion demeure.

 

Enfin, les f_n et f étant impaires, on obtient : pour tout réel  strictement positif,  converge uniformément vers f sur .