Développer en série entière la fonction f définie par :
Analyse
Le premier facteur ne pose pas de problème particulier. On doit concentrer notre attention sur le logarithme népérien. Il convient classiquement de faire apparaître une ou plusieurs formes classiques que l’on sait développer en série entière.
Résolution
Il vient facilement :
Dans ces conditions, on peut dire :
- Que
la fonction f est définie sur ;
- Que
pour tout x dans , on a :et la fonction f est développable en série entière sur l’intervalle(imposé par le terme) ;
- Que
pour tout x dans , on a :et la fonction f n’est pas développable en série entière.
On travaille donc sur l’intervalle .
On a classiquement :
et
Il vient alors :
Résultat final
La
fonction f définie sur par :
est
développable en série entière sur l’intervalle et on a :