Développer en série entière la fonction f définie par :
Analyse
Le numérateur admet une racine évidente qui permet une
factorisation rapide puis une décomposition en éléments simples sur .
Résolution
Il vient facilement :
Dans ces conditions, la décomposition en éléments simples de la fonction f permet de poser :
On obtient les réels A, B et C par des méthodes classiques :
Pour ,
on obtient alors :
En procédant de façon analogue :
Pour ,
on obtient alors :
En tenant compte finalement de ,
on a :
.
D’où : .
Finalement :
Expression que nous récrivons classiquement :
Chacune des fonctions ,
et
est développable en série entière sur l’intervalle
.
Il en va donc de même pour f.
On considère alors les développements :
Il vient :
Remarque : en tenant compte de la parité de n, on peut récrire le résultat obtenu comme suit :
Résultat final
La
fonction f définie sur par :
est
développable en série entière sur l’intervalle et on a :