Le dénominateur se factorise aisément sur . On obtient facilement les module des pôles et, de fait, le rayon de convergence de la série entière …

 

 

 

Il vient facilement :

 

 

 

Où 1, j et  désigne les racines cubiques de l’unité.

 

On note ainsi que les modules des pôles de f sont égaux à 1. Le rayon de convergence de la série entière vaut donc 1.

 

D’après ce qui précède, on a :

 

 

 

On obtient les réels A, B et C par des méthodes classiques :

 

 

 

Pour , on obtient alors :

 

 

 

En procédant de façon analogue :

 

 

 

Pour , on obtient alors :

 

 

 

On a également :

 

 

 

Pour , on obtient alors :

 

 

 

Enfin, on peut facilement tenir compte de :  et, à partir de la décomposition en éléments simples : .

On a donc :

 

 

 

Finalement :

 

 

 

 

On considère alors les développements classiques :

 

 

 

 

 

 

Il vient :

 

 

 

On tient compte alors de la congruence de n modulo 3 :

 

• Si
  
  , on a
  
   et
  
   ;
• Si
  
  , on a
  
   et
  
   ;
• Si
  
  , on a
  
   et
  
   ;

 

On a alors :

 

 

 

Remarque : en tenant compte du fait que , on peut finalement écrire :