Les coefficients ne posent pas de problème d’existence particulier. Leur forme suggère d’utiliser la règle de d’Alembert.

 

 

 

Pour tout entier naturel n, posons : .

 

On a alors :

 

 

 

On a : .

 

On en déduit alors, d’après la règle de d’Alembert, que le rayon de convergence de la série entière est égal à .

 

Etudions maintenant la convergence aux bornes de l’intervalle de convergence.

 

Pour , on doit étudier la série .

Il s’agit d’une série à termes positifs. Faisant principalement intervenir des factorielles, nous allons utiliser la formule de Stirling :

 

 

 

On a alors :

 

 et  

 

On en déduit alors :

 

 

 

La série de Riemann  étant divergente, on en déduit que la série  diverge.

 

Pour , on doit étudier la série .

Il s’agit d’une série alternée et on a : .

La suite  est-elle décroissante ?

D’après les calculs menés lors de la détermination du rayon de convergence de la série entière, on a :

 

 

 

On en déduit que la suite  est strictement décroissante.

 

D’après le théorème spécial des séries alternées, la série  converge.