Les coefficients ne posent pas de problème d’existence particulier. Leur forme suggère d’utiliser la règle de d’Alembert.

 

 

 

Pour tout entier naturel n, posons : .

 

On a alors :

 

 

 

On a :  (fractions rationnelles).

 

On en déduit alors, d’après la règle de d’Alembert, que le rayon de convergence de la série entière est égal à 1.

 

Etudions maintenant la convergence aux bornes de l’intervalle de convergence.

 

Pour , on doit étudier la série .

Il s’agit d’une série à termes positifs (à partir de  ) et on a facilement : . La série  est de même nature que la série  qui est une série de Riemann divergente.

La série entière  diverge donc pour .

 

Pour , on doit étudier la série .

 

A partir de , les termes sont alternés. On montre facilement que la suite  est décroissante à partir de . Par ailleurs, d’après l’équivalent obtenu ci-dessus, elle converge vers 0. Le théorème spécial des séries alternées nous permet alors de conclure ue la série  converge.

La série entière  diverge donc pour .