Développer en série entière la fonction f définie par :
Analyse
On peut facilement faire apparaître des fonctions développables en séries entières en considérant l’argument du logarithme népérien comme la somme des trois premiers termes d’une suite géométrique …
Résolution
Pour ,
on a :
Pour ,
on peut alors écrire :
La fonction est développable en série entière sur
et on a :
On a l’équivalence (
est bijective de
dans lui-même) et il vient immédiatement :
On en tire, pour tout x de :
Résultat final
La
fonction f définie sur par :
est
développable en série entière sur l’intervalle et on a :