Développer en série entière la fonction f définie par :
Analyse
On fait apparaître une fonction développable en série
entière en multipliant le numérateur et le dénominateur de l’argument de la
racine carrée par .
Résolution
Notons d’abord que la fonction f est définie sur .
On a alors, pour tout réel de :
Il convient donc, fondamentalement, de développer .
Pour tout réel et pour tout réel de
,
on a le développement classique :
Comme x appartient à ,
il en va de même pour
et on peut écrire :
Dans un premier temps, simplifions l’écriture de .
Ce produit comporte n facteurs :
On fait alors apparaître au numérateur :
Finalement :
Il vient alors :
D’où, finalement :
Résultat final
La
fonction f définie sur par :
est
développable en série entière sur l’intervalle et on a :