On considère la série entière de la variable réelle :
1. Déterminer son rayon de convergence R ;
2. Calculer la somme pour tout x de .
Analyse
La première question ne pose pas de problème particulier.
Pour la deuxième, on fait apparaître des séries entières dérivées en
transformant .
Résolution
Question 1
On peut appliquer ici la règle de D’Alembert. En
notant : ,
il vient :
On en déduit alors : .
Question 2
On a :
Or, pour tout x de ,
on a :
On en déduit alors :
Finalement :
Résultat final