On considère la série entière de la variable réelle :
1. Déterminer son rayon de convergence R ;
2. Calculer la somme pour tout x de .
Analyse
La première question ne pose pas de problème particulier.
Pour la deuxième, on fait apparaître des développements
« classiques » en transformant .
Résolution
Question 1
On peut appliquer ici la règle de D’Alembert. En
notant : ,
il vient :
On en déduit alors : .
Question 2
On a :
On aurait également pu remarquer : .
Or, pour tout x de ,
on a alors :
Posons alors, pour tout x de :
.
Il vient :
Pour ,
on a aussi :
.
Posons alors : .
On en tire :
.
En tenant compte de ,
on obtient finalement :
.
Il vient finalement :
Finalement :
Pour ,
la somme est nulle.
Résultat final
Pour
,