On considère la série entière de la variable réelle :
1. Déterminer son rayon de convergence R ;
2. Calculer la somme pour tout x de .
Analyse
La première question ne pose pas de problème particulier. Pour la deuxième, on fait apparaître des développements dérivés de celui de l’exponentielle.
Résolution
Question 1
On peut appliquer ici la règle de D’Alembert. En
notant : ,
il vient :
On en déduit alors : .
Question 2
L’idée générale consiste ici à transformer l’écriture de la
puissance en une somme de produits permettant de
simplifier la factorielle du dénominateur. Cette transformation n’étant pas
immédiate, nous la construisons à partir de puissances d’exposants plus petits.
On a :
Il vient alors :
Finalement :
Résultat final