On considère la série entière de la variable réelle :
1. Déterminer son rayon de convergence R ;
2. Calculer la somme pour tout x de .
Analyse
La première question ne pose pas de problème particulier. Pour la deuxième, on peut tirer parti de la proximité de cette série entière de celle de l’exponentielle …
Résolution
Question 1
On considère un réel r strictement positif quelconque et on s’intéresse à la série à termes positifs :
On peut conclure de diverses façons.
Par exemple, on peut écrire : .
On considère alors la série de terme général :
.
Il vient immédiatement : .
Et : .
On en déduit que la série converge pour tout r positif puis que
la série entière
converge pour tout valeur de x.
Posons alors pour tout x réel : .
Question 2
La dérivation de f permet d’obtenir une équation différentielle simple. En effet, on a (attention aux indices de sommation) :
,
et :
La fonction f est donc solution de l’équation
différentielle (E) : .
On remarque par ailleurs que l’on a : et
.
Ces conditions nous permettront de déterminer l’unique solution de (E) les
satisfaisant (problème de Cauchy).
L’équation (E) est une équation différentielle linéaire à coefficients
constants. L’équation caractéristique associée (on rappelle que l’on cherche
une base de solutions de la forme : ) s’écrit :
.
Ses solutions dans
sont les racines de l’unité : 1,
et
.
Les trois solutions correspondantes de (E) s’écrivent alors :
,
et
Une solution quelconque de (E) s’écrit donc : .
La fonction f est de cette forme. On va donc chercher les réels a, b et c tels que :
La condition : donne :
A partir de ,
on obtient :
La condition : donne alors :
Enfin, à partir de : ,
il vient :
La condition : donne alors :
On doit finalement résoudre le système :
En additionnant les deux dernières égalités membre à membre,
on obtient : puis
.
Le système : nous donne facilement :
et
.
Finalement, la fonction f est définie pour tout x réel par :
Résultat final