Une valeur réelle positive simple de z nous donne une série numérique divergente. On travaille alors à l’intérieur du disque ouvert ayant cette valeur pour rayon.

 

 

 

Notons d’abord qu’à partir de l’expression générale : , on a ici : .

 

Ensuite, pour , on obtient la série de terme général  qui diverge grossièrement puisque sont terme général ne tend pas vers 0.

 

Soit alors r un réel de l’intervalle . Etudions la suite : .

Puisqu’il s’agit d’une suite à termes strictement positifs, nous pouvons poser, pour tout n réel :

 

 

 

Pour tout entier naturel n non nul, on a l’inégalité classique : . Il vient alors :

 

 

 

On a classiquement (croissances comparées) : . D’où : .

Comme r appartient à l’intervalle , son logarithme népérien est strictement négatif.

On en déduit finalement :  et, par comparaison : .

D’où : .

 

En résumé, on a :  et .

 

On en déduit : .

 

Le rayon de convergence cherché vaut donc 1.