Développer en série entière la fonction f définie par :
Analyse
On sait développer en série entière les fonctions sinus et
cosinus et donc les fonctions de la forme : et
.
Il convient donc ici de linéariser le produit proposé.
Résolution
est le produit de trois facteurs développables
en série entière (chaque facteur a pour rayon de convergence
). La fonction f est donc développable
en série entière et son rayon de convergence est infini.
On a d’abord, pour tout x réel : .
D’où :
On a par ailleurs, pour tout couple de réels :
On en déduit :
Comme : ,
on a :
.
On en tire alors :
Résultat final
Pour tout x réel :