Déterminer le rayon de convergence de la série entière :
Etudier la convergence aux bornes de l’intervalle de convergence.
Analyse
Les coefficients ne posent pas de problème d’existence
particulier : il faut seulement que n soit non nul. Leur forme
suggère d’utiliser la règle de d’Alembert dans la mesure où la limite de est connue ...
Résolution
Pour tout entier naturel n non nul, posons : .
On a classiquement :
On a alors :
La
série entière admet pour rayon de convergence :
.
Etudions maintenant la convergence aux bornes de l’intervalle de convergence.
Pour ,
on doit étudier la série
.
Celle-ci diverge grossièrement puisque son terme général ne tend pas vers 0.
Pour ,
on doit étudier la série
.
La conclusion est identique à celle de la situation
précédente : la suite ne tend pas vers 0 (elle admet deux valeurs
d’adhérence : e et
) et la série
diverge grossièrement.
Résultat final
La
série entière converge pour tout réel x de
l’intervalle
.