Déterminer le rayon de convergence de la série entière :
Etudier la convergence aux bornes de l’intervalle de convergence.
Analyse
Les coefficients ne posent pas de problème d’existence particulier : il faut seulement que n soit non nul. Leur forme suggère d’utiliser la règle de d’Alembert qui fournit rapidement le rayon de convergence.
Résolution
Pour tout entier naturel n non nul, posons : .
On a :
On a immédiatement : et :
.
Il vient alors : .
Finalement :
La
série entière admet pour rayon de convergence :
.
Etudions maintenant la convergence aux bornes de l’intervalle de convergence.
Pour ,
on doit étudier la série
.
Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3, on
a : .
La série harmonique étant divergente, on en déduit que la série de terme
général
l’est également.
Pour ,
on doit étudier la série
.
Nous avons affaire à une série alternée et on a
classiquement : .
Enfin, on montre facilement que la fonction est strictement décroissante sur l’intervalle
.
On en déduit que la suite
est strictement décroissante à partir de
.
Le critère des séries alternées nous permet alors de
conclure que la série converge.
Résultat final
La
série entière converge pour tout réel x de
l’intervalle
.