Il s’agit d’un exercice classique où le calcul de la dérivée de la fonction permet d’établir que celle-ci est solution d’une équation différentielle dont on cherche ensuite les solutions développables en série entière.

 

 

 

 

Notons d’abord que la fonction f est définie sur l’intervalle .

 

Pour tout réel x de cet intervalle, on a : .

 

En écrivant : , il vient alors :

 

 

 

Ce qui équivaut à :

 

 

 

La fonction f est donc solution de l’équation différentielle :

 

 

 

Nous cherchons alors une solution y de  sous la forme : .

 

On a alors (dérivation terme à terme) : .

 

Dans ces conditions, y est solution de  si, et seulement si, pour tout réel x de l’intervalle , on a :

 

 

 

On déduit immédiatement de ce qui précède :

 

 

 

 

 

La relation de récurrence se récrit : .

 

La fonction f vérifie : .

 

On a donc : , puis, grâce à l’égalité  : . Enfin, on démontre immédiatement par récurrence que l’on a :

 

 

 

Pour ce qui est d’un coefficient d’indice impair quelconque , on a, d’après la relation de récurrence :

 

 

 

En définitive :