On considère la série entière de la variable réelle :
où a est un réel quelconque.
Déterminer son rayon de convergence R et
calculer la somme pour tout x de .
Analyse
Où une variable peut en cacher une autre ...
Résolution
Pour ,
on a immédiatement :
,
série entière classique qui converge sur
et qui vaut :
.
Supposons désormais : .
On a, sous réserve d’existence :
La série entière : admet pour rayon de convergence
et pour tout réel x de
,
on a :
.
De façon similaire, admet pour rayon de convergence
et pour tout réel x de
,
on a :
.
Comme a est non nul, on a : et la série entière
,
somme (à un facteur
près) des séries entières
et
,
admet pour rayon de convergence :
.
Pour tout x réel dans ,
on a alors :
Remarque : pour ,
on a
et :
On retrouve la première situation.
Résultat final