Soit une série entière de rayon de convergence
.
Montrer que la série entière
admet un rayon de convergence infini.
Analyse
On peut s’intéresser à la convergence absolue de la série de
terme général .
Résolution
Puisque le rayon de convergence R de la série entière est non nul, il existe un complexe non nul
tel que la suite
soit bornée. Il existe donc un réel positif M
tel que :
.
Soit alors z un complexe quelconque.
On a : .
Or, la série de terme général est convergente (
).
On en déduit finalement que la série est absolument convergente.
Ce résultat étant valable pour z quelconque, on en
déduit finalement que le rayon de convergence de la série entière est infini.
Résultat final
Si
est une série entière de rayon R non
nul
alors
la série entière est de rayon de convergence infini.