Démontrer que la somme de n variables
aléatoires indépendantes deux à deux suivant la loi de Poisson de paramètre est une loi de Poisson dont on précisera le
paramètre.
Analyse
On a pratiquement affaire ici à une question de cours ! On procède classiquement en cherchant la loi de la somme, l’hypothèse d’indépendance est essentielle pour mener le calcul.
Résolution
Notons ,
,
…,
les n variables aléatoires
indépendantes deux à deux et suivant la loi de Poisson de paramètre
.
On s’intéresse à la variable aléatoire S définie
par : .
Il vient alors, en utilisant successivement la formule des
probabilités totales et l’indépendance des :
Or, chacune des variables aléatoires suit une loi de Poisson de paramètre
.
On a donc :
,
Il vient alors :
On identifia ainsi immédiatement la loi de S à une
loi de Poisson de paramètre .
Résultat final
La
loi suivie par la somme de n variables aléatoires indépendantes deux à
deux et suivant une même loi de Poisson de paramètre est une loi de Poisson de paramètre
.