Le polynôme P est une différence de deux carrés. Cette première remarque nous fournit une première méthode.

 

Mais on peut également partir du constat simple que –1 et 1 sont clairement racines de P (leur ordre de multiplicité étant 1 puisqu’elles n’annulent pas le polynôme dérivé P’).

 

 

 

 

1^ère méthode

 

Nous écrivons, d’après ce qui précède : .

 

1 est racine évidente de  qui se factorise alors simplement sous la forme :

 

 

Par identification, il vient

 

D’où :

 

Le polynôme  n’admettant pas de racine dans , la factorisation de  est achevée.

 

De façon analogue, on a :

 

D’où, finalement :

 

 

 

2^ème méthode

 

On a noté que –1 et 1 étaient racines simples de P. On peut donc mettre en facteur le polynôme . On obtient :

 

 

Pour déterminer a, b et c, on peut remarquer que P est un polynôme pair. Or Q est également un polynôme pair. On en déduit que  doit être un polynôme pair. On a donc immédiatement . On obtient alors facilement .

 

D’où :

 

 

Cette factorisation pouvait également être obtenue en définissant la nouvelle inconnue .

 

Il convient donc maintenant de factoriser le polynôme S.

 

 est « proche » de  :

 

 

On retrouve finalement : .