Il convient, dans un premier temps d’étudier la factorisation du polynôme S puis d’exprimer et d’exploiter les hypothèses fournies.

 

 

 

Constatant rapidement que  est racine de S, on a :

 

 

 

La division de P par le polynôme S de degré 3 s’écrit alors :

 

 

Soit :

 (1)

 

Traduisons maintenant les hypothèses fournies :

 

Pour écrire le résultat de la division de P par , il suffit, d’après (1), d’effectuer la division de R par . On a :

 

 

 

 

On peut alors récrire (1) comme suit :

 

 

 

On en déduit que le reste de la division de P par  vaut . Or, par hypothèse, ce reste vaut 6. On a donc :

 

 

 

On procède de façon analogue avec  :

 

 

 

 

 

D’où :

 

 

Exprimons maintenant la dérivée de P en utilisant (1) :

 

 

 

Pour déterminer le reste de la division de  par , il suffit donc de diviser  par  :

 

On a simplement :  et donc :

 

 

 

D’après l’hypothèse, on en déduit :

 

 

 

Il convient donc de résoudre le système :

 

 

La dernière ligne nous donne :  et les deux premières lignes se récrivent :

 

 

 

Il vient alors .

 

Finalement la division de P par S s’écrit :