Le polynôme P est un polynôme réciproque, les coefficients symétriques par rapport au coefficient central (8) étant égaux. De fait, on peut appliquer la méthode générale de factorisation de ces polynômes. Ceci étant, on peut ne pas faire cette remarque et adopter une approche plus classique consistant à rechercher des racines simples. Comme elle aboutit ici, nous fournissons le détails de ces deux méthodes.

 

 

 

1^ère méthode : recherche de racines simples

 

On constate facilement que 1 est racine de P.

 

On commence donc par en rechercher l’ordre de multiplicité. Pour cela, on calcule .

 

On a : . Donc . On en déduit que 1 est une racine de P d’ordre de multiplicité au moins égal à 2.

 

Calculons maintenant . On a .

Donc . 1 n’annulant pas , il s’agit donc d’une racine d’ordre de multiplicité égal à 2 exactement.

 

La factorisation de P s’écrit donc :  où a et b sont à déterminer.

 

On a, en utilisant les deux expressions de P : .

 

On peut alors écrire :

 

 

 

 

 

 

Des deux expressions de , on tire alors : . D’où .

 

Finalement : .

 

La factorisation n’est pas achevée puisque l’on constate que le trinôme  admet les deux racines réelles suivantes :

 

 

 

La factorisation de P est désormais achevée :

 

 

 

 

2^ème méthode : exploiter la réciprocité de P

 

P étant un polynôme réciproque, on introduit la nouvelle variable  et on récrit P comme suit :

 

 

 

Le polynôme  admet les deux racines réelles 2 et 3 et se factorise donc en .

 

On a alors, en revenant à la variable initiale :

 

 

 

 

La factorisation s’achève alors comme précédemment.