Le polynôme  est relativement « simple » et, en y regardant de près, on peut le factoriser. Cette factorisation ne comportant qu’au plus 3 facteurs sur , on peut étudier la divisibilité de  par chacun des facteurs. C’est une première approche que nous développons ci-dessous à titre indicatif en complément de l’approche plus générale, également développée, à savoir l’application de l’algorithme d’EUCLIDE.

 

 

 

1^ère méthode : factorisation de  

 

On constate facilement que 1 est racine simple de . Celui-ci se récrit donc :

 

 

 

En identifiant, on obtient : ,  et . On a donc : .

Le discriminant de  vaut  et ses racines  et .

On a donc finalement : .

 

Pour déterminer les éventuels monômes divisant , on peut : soit effectuer les divisions polynomiales de  par chaque monôme ; soit évaluer les valeurs prises par  pour chaque valeur de x annulant les monômes.

 

Les divisions s’écrivent (nous avons introduit des facteurs multiplicatifs pour simplifier les écritures) :

 

 

 

 

On en déduit que  est divisible par le polynôme .

C’est le PGCD de  et  puisque le troisième facteur de  ne divise pas .

 

Finalement :

 

 

Note : on rappelle qu’un tel résultat est défini à une constante multiplicative près. Certains auteurs présentent traditionnellement le résultat sous la forme d’un polynôme unitaire. On aurait alors ici : .

 

 

2^ème méthode : algorithme d’EUCLIDE

 

Nous commençons par effectuer la division de  par . On obtient :

 

 

 

On réitère en effectuant cette fois la division du quotient par le reste. Mais on rappelle que l’on peut, avant d’effectuer une telle division, simplifier éventuellement le reste précédemment obtenu par un facteur multiplicatif adapté. C’est ce que nous faisons ici en retenant  au lieu de .

 

On a alors : .

 

Le reste précédemment obtenu (  ) divise , l’algorithme est ainsi achevé et le PGCD vaut : .

 

On retrouve le résultat obtenu avec la première méthode.